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학회 포스터 만들어야 하는데 이 뭔 삽질.. 지식인에 쓰고보니 뭔가 좀 아까워서 옮겨놓는다.

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네이버 캐스트 본문 => 양자론의 완성 슈뢰딩거 방정식


답변:

본문에서는 슈레딩거 방정식을 풀어 나온 해를 어떤 식으로 해석하는가에 따라서 파동함수, 확률함수로 다른 명칭을 부여한 것 같습니다. 지금의 대학에서는 양자역학을 가르칠 때 Ψ의 명칭은 파동함수로 하고, 해석은 보른의 해석을 채용하는 곳이 대부분이 아닐까 생각합니다.

Ψ는 다른 명칭으로 상태함수라고도 하는데, 개인적으로는 이 용어가 가장 현대의 해석에 알맞지 않나 싶습니다. 상태함수라는 말의 뜻은, Ψ가 측정가능한 물리량을 나타내는 것이 아니라 말 그대로 어떤 계의 상태를 나타내고 있다는 것이지요. 본문에서도 나왔듯이 ε이라는 에너지를 가지는 상태를 나타내기도 하나, 다르게 표현하면 입자가 가지는 위치와 운동량, 그리고 스핀을 지정하는 정보의 묶음이라고도 할 수 있겠네요. 똑같은 상태를 exp[i(kx-wt)]처럼 파동함수의 형태로 쓸 수도 있고 행렬로 쓸 수도 있습니다. 전자는 슈뢰딩거, 후자는 하이젠베르크가 채용한 형식인데, 두 형식은 수학적으로 동등하다는 것이 증명되어 있습니다.

위에도 썼듯이 상태함수 자체가 직접적으로 측정할 수 있는 물리량은 아닙니다. (슈뢰딩거는 그 자체가 하나의 물리량이라고 생각했던것 같습니다.) 슈뢰딩거 방정식은 이차편미분 방정식이기 때문에, 해가 복소함수의 형태를 띄어서 더더욱 골치 아파지죠. 허수 i가 현실에 존재하는 어떤 물체에 대응하는가? 라는 물음과 비슷합니다. 보른은 Ψ자체가 아니라, 절대값의 자승|Ψ|^2에 미소영역의 체적을 곱한 것이 그 영역에 입자가 존재할 확률이라고 정의합니다. 만약 어떤 입자가 존재한다면 전 우주공간 안에 존재할 확률은 1이되어야만 하겠죠. 그래서 |Ψ|^2를 전공간에서 적분한 값이 1이 되도록 Ψ에 적당한 상수를 곱한 것을 새 상태함수로 차용하는데,이것을 규격화라고 합니다.

위치나 운동량 같은 물리량은 그에 대응되는 연산자를 상태함수에 적용시켜서 얻습니다. 보통 고전역학에서 쓰는 문자 위에 ^를 써서 표현합니다. 운동량 p의 연산자는 p^와 같은 식으로 씁니다. (텍스트로는 표현하기 힘든데 p의 바로 위에 ^가 씌워졌다고 생각하시면 됩니다.) p^Ψ = pΨ, x^Ψ = xΨ 같은 식이지요. 이렇게해서 구한 pΨ, xΨ의 앞에 Ψ의 복소공역을 곱해 전구간에서 적분하면 p와 x를 구할 수 있습니다. 에너지의 연산자는 해밀터니안H로 본문에 나온 슈뢰딩거 방정식의 좌변과 동일한구조를 취하고 있지요. p^, x^의 경우와 같은 방식으로 상태함수에 해밀터니안을 적용시키면 에너지를 구할 수 있습니다. 즉, HΨ=EΨ가 됩니다. ( H=(p^)*(p^)/2m - V )

|Ψ|^2를 확률밀도함수라고 하는 경우도 있습니다만, Ψ와는 다르지요. Ψ는 입자의 물리적 상태를 나타내는 상태함수 또는 파동함수로 부르고, |Ψ|^2는 존재확률로 받아들이는 것이 현재로서는 가장 대표적인 해석입니다. 슈뢰딩거는 이 해석을 거부했던 것이고, Ψ자체가 특정 물리량이라고 생각했던 것이 아닌가하고 생각되네요.